RAINYMATH TRIXT

BEKERJA BERSAMA SEBERAPA CEPAT

2009-11-29T23:06:00.000-08:00

Berikut pertanyaannya:

A dapat menyelesaikan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan B dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam waktu 6 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, berapakah lama pekerjaan itu dapat selesai?

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Logikanya Bagaimana ya??

Yups, sebetulnya soal di atas itu identik dengan soal ini:

Dari Jakarta ke Bandung, Anto menempuh waktu perjalanan 2 jam. Dari Bandung ke Jakarta, Budi menempuh waktu perjalanan selama 6 jam. Jika mereka berdua berangkat bersamaan, kapankah mereka akan bertemu?

Then, bagaimana cara mengerjakannya? Kembali lagi ke soal awal...

-- LOGIKA PENYELESAIAN MASALAH --

A dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 2 jam. Jadi, dalam sejam, A dapat mengerjakan pekerjaan. B dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 6 jam. Jadi, dalam sejam, B dapat mengerjakan pekerjaan. Jadi, jika mereka bekerja bersama-sama, dalam sejam, A dan B dapat menyelesaikan pekerjaan. Karena tiap jam, mereka dapat menyelesaikan pekerjaan, maka untuk menyelesaikan semua pekerjaan dibutuhkan waktu jam.

Jadi, logikanya, yang ditambah di sini adalah laju mereka bekerja. ^^
Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan formula berikut.

di mana
T adalah waktu jika A dan B bekerja bersama.
A adalah waktu jika si A bekerja sendiri.
B adalah waktu jika si B bekerja sendiri.
(Note, angka satu yang ada di atas T, A, atau B sebenarnya adalah jumlah pekerjaan yang dapat dikerjakan. Pekerjaan di sini dapat dianggap sebagai 1)

Jadi, soal di atas jika diselesaikan dengan cara ini, bisa dengan lebih cepat didapat. ^^

===> Jadi, waktu jika A dan B bekerja bersama adalah jam.

Hayo, masih bilang sulit lagi? ^^
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal Lagi...

Ibu Ita selalu memberi tugas membuat makalah. Lalu, salah satu siswanya, Anto ingin mengadakan suatu perhitungan dan analisis. Jika dia dan Budi bekerja bersama, maka tugas tersebut dapat selesai selama 20 hari. Jika dia dan Cica bekerja bersama, maka tugas dapat selesai selama 15 hari. Jika Budi dan Cica bekerja bersama, maka tugas itu dapat selesai selama 12 hari. Jika mereka diberi waktu hanya 9 hari untuk membuat makalah, apakah mereka mampu melakukannya? (note: abaikan faktor X)

Jawab:
Soal ini tidak sulit. Namun, kenyataannya di dunia nyata, soal ini tidak berlaku karena bisa saja khan kerja kelompok itu bergantung pada banyak faktor.. ^^. Back to soal.. Lihat bahwa dari soal itu dapat dibentuk 3 persamaan:

A = waktu bagi A untuk menyelesaikan tugas.
B = waktu bagi B untuk menyelesaikan tugas.
C = waktu bagi C untuk menyelesaikan tugas.

... (i)
... (ii)
... (iii)
Gunakan permisalan untuk , , dan .
Misalkan = X, = Y, dan = Z.
Maka,
X + Y = ...(i)
X + Z = ... (ii)
Y + Z = ... (iii)
Eliminasikan. Kurangkan (i) dengan (ii), hasilnya:
Y Z = = ... (iv)
Eliminasikan. Kurangkan (iv) dengan (v), hasilnya:
2Z =
Z = .
Maka,
Setelah dihitung, didapat:
X =
Y =

+ + = X+Y+Z = + + = =
T = 10
Jadi, mereka butuh waktu 10 hari untuk mengerjakannya. Waktu 9 hari untuk mengerjakan makalah itu kurang, kecuali jika mereka mau berusaha lebih keras.. ^^

DALIL SINUS DAN COSINUS

2009-11-29T23:01:00.000-08:00

Tentunya, jika kalian di SMA, pernah donk ketemu dengan dalil yang bunyinya begini:
Dalil Sinus:

Dalil Cosinus:

-----------------------------------------------------------------------------------------------

AM-GM-HM

2009-11-29T22:59:00.000-08:00

AM-GM-HM sering banget digunakan di soal ekuivalensi, misalnya:

Buktikan bahwa , u/ semua bilangan x positif..

Wah, nyesel deh kalo ga tau soal kayak gini.. Soalnya ini tuh guampang bangeettttzzzz.. Check it out..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Istilah:
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik. Mis:

GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri. Mis:
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik. Mis:

Nah, secara umum AM GM HM

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Pembuktian rumus:
Pertama, gunakan 2 varibel dulu, yaitu a dan b..
Kita coba buktikan rumus: AM GM dulu...

Pandang
__ ______(ini berlaku karena setiap bilangan kuadrat selalu positif)
__
__
__ ________, Terbukti rumus AM GM u/ 2 variabel

Bukti Rumus GM HM:
______ bagi kedua ruas dengan ab
______pindah ruas
______, Terbukti rumus GM HM u/ 2 variabel

Dari bagian pertama dan kedua, maka didapat:

AM GM HM

Nah, untuk pembuktian dengan banyak variabel, bisa menggunakan konsep yang 2 variabel:
x. Untuk yang 4 variabel, ubahlah bentuk menjadi . Gunakan lagi prinsip . Setelah itu, kedua ruas pangkatkan dengan 4, maka bukti u/ 4 varibel didapatkan.

x. Untuk yang 3 variabel, ubahlah bentuk menjadi . Gunakan konsep yang sebelumnya (4 varibel).. Maka, lagi-lagi, bukti untuk 3 variabel didapatkan... Piece of Cake!!

x. Untuk banyak variabel selanjutnya, gunakan konsep yang sudah ada sebelumnya..

Maka terbentuklah rumus AM-GM-HM yang seperti berikut:

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 1:
Buktikan bahwa , u/ semua bilangan x positif..

Jawab:
(i) Gunakan cara biasa (dari dasar)
__
__

__, terbukti
(ii)Cara AM-GM (langsung dari rumus)
__
__
__, terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 2:
Untuk p,q,r>0 dan p+q+r=1, buktikan bahwa
Jawab:
____AM HM
____
____
____ , terbukti..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 3:
Jika a,b,c, dan d adalah bilangan Real positif, tunjukkan bahwa:
Jawab:
____AM GM
____
____
____ , Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
What a simple form!

MODULO

2009-11-29T22:55:00.001-08:00

Melanjuti topik yang sebelumnya, keterbagian, kali ini topik yang dibahas adalah modulo. Teori modulo (Latin) diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Carl Friedrich Gauss tahun 1801 dalam bukunya yang berjudul “Disquisitiones Arithmaticae”.

_____Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).

_____Ada istilah “kongruen modulo”. Apa itu? Itu jika sisanya sama. Misalnya: 100 mod 9 = 1 dan 91 mod 9 = 1, maka dapat dikatakan bahwa 100 dan 91 itu kongruen modulo 9.

_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!

======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang

a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32

Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo

(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Soal 5 : Berapakah sisa (1992+1993+1994+…+ 1999) dibagi 2000?
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______= (-36)mod 2000 = (( -1)*2000+1964)mod 2000 = 1964 mod 2000 = 1964

Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn² +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod n dan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4

Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!

a^b mod n = ((a mod n)^b)mod n , b adalah bil.bulat

Soal 8: Berapakah sisa 3¹⁰⁰⁰ dibagi 4?
Jawab: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = ((1*4-1)¹⁰⁰⁰)) mod 4 = 1 mod 4 =1

Soal 9:Berapakah sisa jika 3²⁰⁰⁹jika dibagi 41?
Jawab: (3²⁰⁰⁹) mod 41 = (9¹⁰⁰⁴*3) mod 41 = (81⁵⁰²*3) mod 41 = ((41*2-1)⁵⁰²*3)mod 41
______= ((-1)⁵⁰²*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3

Soal 10: Apakah 54⁵⁴ + 55⁵⁵ + 56⁵⁶ habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)

Jawab: (54⁵⁴+55⁵⁵+56⁵⁶)mod 7
_____= (54⁵⁴mod 7+ 55⁵⁵ mod 7+ 56⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)⁵⁴mod 7+ (8*7-1)⁵⁵ mod 7+ (8*7+0)⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ (-1)⁵⁵ mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ 6)mod 7
_____= (25²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)^3*9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((64)⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= ((7*9+1)⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= (1⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7.
(Thx for ac for the correction.. ^^)

Penyelesaian modulo dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya no.8, dapat dijawab dengan cara lain: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = 9⁵⁰⁰ mod 4 = (2*4+1)⁵⁰⁰ mod 4 = 1⁵⁰⁰ mod 4 = 1 mod 4 = 1.

======================================================================

Bentuk Lain

Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:

Contoh:

yang artinya akan sama seperti bentuk yang kita pelajari sebelumnya, yaitu:

Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================

Operasi-Operasi Terhadap Kongruensi Modulo pada Kedua Ruas

Jika kita sudah menemukan bentuk , kita dapat mengolahnya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian terhadap kedua ruas..

Penjumlahan Kedua Ruas:

Jika kedua ruas ditambah dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas ditambah 4, hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 14 = 3 x 3 + 5.

Pengurangan Kedua Ruas:
(sama seperti penjumlahan)

Jika kedua ruas dikurang dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas dikurang 2, maka hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 8 = 3 x 3 -1.

Perkalian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dikali dengan d, maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kalikan 2, hasilnya:

Pembagian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dibagi dengan d, maka hasilnya adalah:

Bukti:

Kita tahu bahwa jika , maka atau .
Karena dan koprima, maka .
Akibatnya:

TERBUKTI.

Contoh 1:

Bagi kedua ruas dengan 5:

Contoh 2:

Bagi kedua ruas dengan 2:

======================================================================
Modulo. Simple and easy..!!

2009-11-29T22:55:00.000-08:00

a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo

(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn² +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod n dan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!

a^b mod n = ((a mod n)^b)mod n , b adalah bil.bulat

Bentuk Lain

Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:

Contoh:

yang artinya akan sama seperti bentuk yang kita pelajari sebelumnya, yaitu:

Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================

Operasi-Operasi Terhadap Kongruensi Modulo pada Kedua Ruas

Jika kita sudah menemukan bentuk , kita dapat mengolahnya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian terhadap kedua ruas..

Penjumlahan Kedua Ruas:

Jika kedua ruas ditambah dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas ditambah 4, hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 14 = 3 x 3 + 5.

Pengurangan Kedua Ruas:
(sama seperti penjumlahan)

Jika kedua ruas dikurang dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas dikurang 2, maka hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 8 = 3 x 3 -1.

Perkalian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dikali dengan d, maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kalikan 2, hasilnya:

Pembagian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dibagi dengan d, maka hasilnya adalah:

Bukti:

Kita tahu bahwa jika , maka atau .
Karena dan koprima, maka .
Akibatnya:

TERBUKTI.

Contoh 1:

Bagi kedua ruas dengan 5:

Contoh 2:

Bagi kedua ruas dengan 2:

======================================================================
Modulo. Simple and easy..!!

KETERBAGIAN (DIVISIBILITY)

2009-11-29T22:52:00.000-08:00

Apa itu divisibility? Divisibility itu artinya keterbagian, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

Notasi Keterbagian
Misalnya kalo kita mo ngomong “10 habis dibagi 5”, kita bisa mengilmiahkannya dengan berkata “5 membagi 10”. Nah, lebih ilmiah lagi kalo ditulis: 10 mod 5 = 0 atau . Kalo, gak habis dibagi? Ya, lambangnya tinggal dicoret miring. Misalnya:. (10 tidak habis dibagi 6).

=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=

Sifat-Sifat Keterbagian
Sebetulnya, keterbagian itu sudah diajarin di SD.. Tul ga sih?? Sifat-sifatnya saja pake logika semua. Berikut 3 sifat keterbagian:

untuk sembarang bil bulat x dan y

=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=
Keterbagian oleh 2, 3, 4, 5, dsb
Nah, misalnya ada suatu soal: Apakah 17.876 bisa dibagi 2? Ya, jelas bisa, karena bilangan terakhirnya genap (pasti jawabnya begitu bukan?).
Seandainya, soalnya begini: Apakah 19875 bisa dibagi 35? Apakah 181181 bisa dibagi 11? Wah, jangan bingung. Gampang koq. Berikut ketentuannya.
jika digit terakhir dari n genap. Mis: .
jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Mis: , .
jika 2 digit terakhir dari n bisa dibagi 4. Mis: , .
jika digit terakhir dari n adalah 5 atau 0.
jika dan . Mis: , .
jika 3 digit terakhir dari n bisa dibagi 8. Mis: , .
jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. Mis: ,
jika jumlah silang tanda-ganti angka-angkanya habis dibagi 11. Mis: , , .

Coba perhatikan keterbagian oleh 2, 4, dan 8, ketiganya menunjuk suatu pola khusus.. Lalu, kira-kira bagaimana pola keterbagian oleh 16, 32, dan seterusnya? Hahaha.. Gampang lah.. Cari sendiri.

Yang di atas adalah kaidah dasar..

=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 1:
Apakah 12345654321 habis dibagi 99?
Penyelesaian: cukup dicari apakah 12345654321 habis dibagi 9 dan apakah 12345654321 habis dibagi 11.
Jumlah angka = 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36, berarti , karena .
Jumlah silang tanda ganti = 1-2+3-4+5-6+5-4+3-2+1 = 0, berarti .
Jadi,, .

=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2:
Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b!
Penyelesaian
72 = 8 x 9. Karena itu => => b =6
Juga => => => a = 3

JIKA SISANYA SAMA

2009-11-29T22:50:00.000-08:00

Reza mempunyai sejumlah motor.

Jika dibagi 8, maka akan bersisa 7.
Jika dibagi 9 maka akan bersisa 7.
Jika dibagi 12, maka akan bersisa 7.
Jika dibagi 20, maka akan bersisa 7.
Jika dibagi 25, maka juga akan bersisa 7.

Yang pasti, jumlah motor si Reza bukan berjumlah 7. Jadi, berapakah jumlah motornya?

=======================================================================

PENYELESAIAN

Soal di atas sesungguhnya hanya mencari KPK dari 8, 19, 12, 20, dan 25, kemudian hasilnya ditambahkan dengan 7. Mengapa bisa demikian? Sebagai contoh, lihat 2 persamaan saja. Misalkan persamaan

Jika dibagi 12, maka akan bersisa 7 ... (i)
Jika dibagi 20, maka akan bersisa 7 ... (ii)

Dari (i) kita dapatkan , maka
Dari (ii) kita dapatkan , maka .
Substitusikan (i) dan (ii), maka

Karena ruas kanan kelipatan 5, maka ruas kiri juga harus kelipatan 5. Maka nikai k harus kelipatan 5.

Substitusikan k ke (i)

Ini adalah penggabungan syarat (i) dan (ii)

Perhatikan langkah-langkah di atas. Sesungguhnya nilai x sama seperti rumusan di bawah:

atau dapat ditulis:

lcm (least common multiple) disebut juga KPK (Kelipatan Persekutuan terkecil).

tentukan x^4+y^4+z^4

2009-11-29T22:41:00.000-08:00

Mungkin, kalian pernah menemukan soal seperti ini di buku SMA:

Tentukan nilai

Kali ini soal yang diajukan sedikit berbeda. Hanya menambahkan 1 variabel, yaitu sbb:

Tentukan nilai .

=======================================================================

PENYELESAIAN

Untuk soal yang pertama:

Tentukan nilai

Jawab:

Jika konsep dua variabel sudah dipahami, maka untuk 3 variabel juga sama, namun sungguh lebih ribet... X(. Silakan lihat di bawah...

Soal Kedua:

Tentukan nilai .

Jawab:

_____________

_____________
_____________

_____________
_____________
_____________

RAHASIA DEDDY CORBUZIER

2009-11-29T01:44:00.001-08:00

Hmm.. Pernahkah kalian melihat Deddy Corbuzier memainkan trik sulap. Misalnya tebaklah sebuah angka X, lalu kalikan dengan Y.. Akhirnya, ditemukan suatu angka lagi. Kalau yang seperti ini, cukup gunakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa dan misteri sulap itu dengan mudahnya terkuak.

Di sini, aku akan memperlihatkan satu contoh dari trik sulapnya Deddy Corbuzier yang *mudah*.. Hehe.. Kalau kalian sudah tahu, ada baiknya kalau trik ini dipakai untuk *ngisengin temen*.. Hahaha.. Kapan lagi bergaya seperti Deddy Corbuzier.. ;P

=========================================================================

Di Manakah Cincin Itu?

Berikut adalah *cuplikan* pertunjukan sulap dari Deddy Corbuzier.

Dua orang sukarelawan, sebut saja si A dan si B, dipersilakan untuk memilih salah satu dari dua sifat yang disediakan. Yaitu sifat jujur, dan sifat pembohong. Masing-masing bisa memilih sifat yang sama, bisa juga memilih sifat yang berbeda. Bila memilih jujur, maka ia harus menjawab dengan jujur setiap pertanyaan yang nanti akan ditanyakan kepadanya. Sebaliknya bila memilih sebagai pembohong, maka ia harus berbohong saat menjawab pertanyaan tersebut. Deddy Corbuzier lalu memberi sebuah cincin untuk nantinya disimpan oleh salah satu dari keduanya. Lalu si A dan si B diberi kesempatan secara tertutup untuk berunding dan saling mengetahui sifat apa yang dipilih oleh masing-masing, serta memutuskan siapa yang akan membawa cincin tersebut. Keduanya pun kembali ke hadapan Corbuzier tanpa memberitahu sifat apa yang telah dipilih oleh tiap-tiap orang dan tanpa memberitahu siapa yang saat itu membawa cincinnya.

“Apakah Anda dan si B memilih sifat yang sama?”, Deddy Corbuzier mulai mengajukan pertanyaan kepada si A.

Bila ia dan si B misalnya telah memilih sifat yang sama, dan ia memilih sifat sebagai pembohong, maka ia harus berbohong dengan menjawab, Tidak. Bila ia memilih sebagai pembohong dan si B misalnya memilih sifat jujur, maka tentu ia harus menjawab, Sama, karena pilihannya tidak sama namun ia harus berbohong. Dan seterusnya. Si A memikirkan jawabannya sesaat, lalu dengan mantap menjawab, “Ya, sama.”

Deddy Corbuzier lalu beralih kepada si B, “Apakah Anda yang membawa cincinnya?”

Sejenak si B terlihat berpikir. Ia tahu siapa yang membawa cincinnya, namun ia harus menjawab sesuai dengan sifat yang telah dipilihnya. Akhirnya, dengan intonasi datar ia pun menjawab, “Tidak. Bukan saya yang membawanya.”

Dengan berkonsentrasi sedikit, Deddy Corbuzier memperhatikan raut wajah kedua orang sukarelawan tersebut. Lalu ia tertawa dan berkata kepada si B, “Ya ya, saya tahu Anda orang yang jujur”, serta menyodorkan telapak tangan kanannya kepada si A, “Mana cincinnya?”

Dengan wajah penuh tanda tanya, si A hanya pasrah dan menyerahkan cincin tersebut. Hanya dengan dua pertanyaan, satu untuk tiap-tiap orang. Penonton bertepuk tangan, dan Deddy Corbuzier pun tersenyum puas. Bagaimana ia dapat melakukannya? Benarkah Deddy Corbuzier dapat membaca pikiran kedua orang tersebut? Mau tahu rahasianya?

=========================================================================

Here's The Secret

Dalam setiap pertunjukannya, Deddy Corbuzier selalu menekankan kepada penontonnya bahwa ia bukanlah seorang ilusionis, yang misalnya melakukan trik sulap menghilangkan mobil di atas panggung dengan hanya ditutup dengan tirai hitam selama 5 detik, dan lain sebagainya. Ia mengaku lebih senang disebut sebagai seorang mentalis alias Master of Mind, yang trik-triknya berhubungan dengan pikiran atau mental manusia. Aksi sulapnya yang paling populer adalah aksi yang disebut dengan Metal Blending, yakni membengkokkan sebuah sendok dengan kekuatan pikirannya atau kekuatan pikiran seseorang.

Benarkah ia benar-benar dapat membaca pikiran si A dan si B? Atau apakah ia sebelumnya telah melakukan kongkalikong dengan si A dan/atau si B? Atau barangkali ia telah menyuruh seseorang untuk mengintip saat keduanya berunding, lalu memberitahunya secara diam-diam menggunakan kode tertentu? Ataukah cincin tersebut telah dipasangi suatu alat tertentu yang dapat memancarkan sebuah gelombang yang menyebabkan orang yang membawa pasangan lain dari alat tersebut dapat mendeteksi dimana cincin tersebut berada? Atau jangan-jangan ia menggunakan jin untuk melihat dan memberitahu siapa pembawa cincinnya? hehehe..

Rahasianya: Berikut diberikan tabel semua kemungkinan terhadap sifat A dan B. Cukup simple karena hanya ada 4 kemungkinan di sini.

Sifat A	Sifat B	Jawaban A
Jujur	Jujur	Sama
Jujur	Bohong	Tidak Sama
Bohong	Jujur	Sama
Bohong	Bohong	Tidak Sama

Kuncinya ada pada jawaban A.
Jika A menjawab "Sama", maka B adalah orang jujur.
Jika A menjawab "Tidak Sama", maka B adalah orang bohong.

Selanjutnya, karena kita telah mengetahui sifat B yang jujur atau bohong, maka kita tahu di mana cincin itu dari keterangan B...

Hehe.. mudah sekali bukan? ^^

MONTY HALL PROBLEM

2009-11-29T01:37:00.000-08:00

Untuk mendeskripsikan Monty Hall Problem, anggaplah kita sedang bermain game dalam sebuah acara game show. Kamu sebagai pesertanya.

Diberikan 3 buah pintu yang masing-masing tertutup. Di balik pintu itu ada 1 buah mobil dan 2 buah kambing. Satu mobil dan 2 kambing itu diacak secara random. Hanya si host yang tahu isi di balik ketiga pintu itu..

Sekarang, kamu dipersilakan memilih satu dari tiga pintu itu yang memiliki hadiah mobil (tentunya, kamu ingin hadiah mobil, bukan??). Andaikan saja, kamu memilih pintu nomor satu. Kemudian, sesuai dengan skenario, host akan membuka pintu yang lain yang berisi kambing. Anggap pintu nomor 2 dibuka (berisi kambing). Nah, sekarang host akan selalu bertanya kembali: "Apakah kamu tetap tinggal pada pintu nomor 1 atau akan berpindah ke pintu nomor 3?". Lalu, bagaimana reaksimu? Apakah akan *stay* atau *switch*??

Hint: Perhatikan sikap aneh dari host. Meskipun kita sudah memilih salah satu pintu, tapi dia akan tetap membuka pintu lain yang berisi kambing.

=========================================================================

Asal Mula Monty Hall Problem

Monty Hall Problem adalah puzzle peluang yang didasari oleh suatu acara televisi di Amerika yang berjudul "Let's Make a Deal" (1963 s/d 1991) yang host/pembawa acaranya sendiri adalah Monty Hall.. Secara umum, acara itu punya banyak games, namun dari banyak games itu, perhatian kita sekarang tertuju pada permainan 3 pintu, yang isinya adalah 1 mobil dan 2 kambing. Puzzle ini sering juga disebut dengan Monty Hall Paradox.

Ketika solusi atas puzzle ini diterbitkan di sebuah tulisan berjudul Parade, 1000 dari 10000 profesor bergelar Ph.D menentang solusi dari Monty Hall Problem. Mereka berpikir bahwa baik *stay* maupun *switch* akan berpeluang sama untuk mendapatkan hadiah mobil. Padahal, jelas-jelas, solusi yang diberikan dalam Parade itu sudah 100% benar, dan sudah dijabarkan..

=========================================================================

Solusi Monty Hall Problem

Monty Hall ini punya beberapa karakteristik:
*) Ingat bahwa peserta harus memilih dahulu pilihan pintunya, lalu host baru akan membuka salah satu pintu yang lain.
*) Pintu yang dibuka oleh host bukan pintu yang kita pilih. Lalu, pintu yang dibuka itu juga bukan pintu yang berisi mobil, karena jika demikian, game show akan berakhir.

Oleh karena itu, seandainya jika pada saat kita memilih 1 pintu dari 3 pintu yang ada, lalu host langsung membuka pintu itu, maka peluangnya adalah 1/3 untuk mendapatkan mobil. Lalu, jika permainan Monty Hall seperti ini, maka games menjadi tidak seru, bukan? Oleh karena itu. host mengeliminasi pintu yang berisi kambing yang berarti memperbesar peluang kita.

So???
Ini adalah solusi Monty Hall yang sederhana (yang didasarkan pada logika):

Saat memilih 1 dari 3 pintu, maka peluang memilih pintu yang berisi kambing adalah 2/3.
Dengan demikian, Peluang si host akan dengan terpaksa mengeliminasi pintu lain yang berisi kambing (yang satu-satunya tersisa) adalah 2/3 juga.
Dengan demikian, sekarang kita punya 2 pilihan pintu. Jika kita switch, maka pintu yang kita pilih sekarang berubah dari kambing ke mobil dan peluang untuk mendapatkan mobil adalah 2/3 juga.

Di atas adalah solusi yang menjelaskan semuanya. Dengan demikian, akan lebih baik jika kita SWITCH dibandingkan dengan STAY, karena jika kita SWITCH maka peluang kita mendapatkan mobil adalah 2/3 sedangkan jika kita STAY maka peluang mendapatkan kambing adalah 1/3. Artinya, kita berpeluang 2 kali lebih besar jika kita SWITCH!!!

Jika masih bingung dengan penjelasan di atas, kita langsung gunakan tabel peluangnya. Anggap kita memilih pertama kali pintu 1, dan mobil berarti bisa berada di pintu 1, 2, atau 3. Lihat tabel di bawah (dilihat secara vertikal):

Mobil tersembunyi di pintu nomor 1		Mobil tersembunyi di pintu nomor 2	Mobil tersembunyi di pintu nomor 3
\|\| \/ Player memilih pintu nomor 1

\|\| \/ Host membuka pintu nomor 2 atau 3		\|\| \/ Host harus membuka pintu nomor 3	\|\| \/ Host harus membuka pintu nomor 2

\|\| \/ Stay: win Switch: lose	\|\| \/ Stay: win Switch: lose	\|\| \/ Stay: lose Switch: win	\|\| \/ Stay: lose Switch: win
\|\| \/ Stay: lose Switch: win Jika switch, maka kemungkinan menang adalah 1/3		\|\| \/ Stay: lose Switch: win Jika switch, maka kemungkinan menang adalah 2/3

So, jika kita SWITCH, maka peluang mendapatkan mobil adalah 2/3.

Jika masih bingung dengan 2 solusi di atas, maka sebaiknya kalian simulasikan sendiri game ini dengan temanmu.. Lalu, perhatikan bagaimana jika switch dan bagaimana jika stay..

Untuk simulasinya lebih lanjut, silakan ditrial sendiri di situs ini: http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm.
Situs di atas, kalian akan berperan menjadi pemainnya, lalu lihatlah seberapa banyak kalian akan memenangkan mobil jika switch atau stay.. ^^

Sumber:
http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm,
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.monty.hall.html,
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm

DALIL CEVA DAN MENELAUS

2009-11-29T01:17:00.000-08:00

Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri elementer.

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

----------------------------------------------------------------------------------

Teorema Menelaus merupakan dual dari teorema Ceva.

Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.

Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:

Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB haruslah negatif.

---------------------------------------------------------------------------------------

KUMPULAN SOAL OSP/OSK MATEMATIKA SMA

2009-11-29T00:32:00.000-08:00

Mengingat osn 2010 sudah semakin dekat, ini kumpulan soal osp dari tahun 2002 sampai 2009.
semoga bermanfaat.. TRIXT
urlnya ada dibawah:
OSP sma 2002-2009
buat yang masih junior ni buat pemanasannya,, semangat ya!
OSK sma 2002-2007

Chinese Remainder Theorem Eksplisit

2009-11-28T22:11:00.000-08:00

Di post sebelumnya sudah dibahas mengenai Chinese Remainder Theorem, tapi hanya dijelaskan solusi yang dilakukan secara iteratif. Di post ini, akan ditunjukkan Rumus/ Teorema Chinese Remainder Theorem yang eksplisit yang dapat secara langsung digunakan untuk mencari solusi.

Diberikan sistem kongruensi sebagai berikut.

haruslah saling relatif prima
Dengan demikian, kita dapat mencari nilai dengan rumus berikut.

dimana

untuk setiap .
dan adalah invers dari modulo untuk setiap .

Untuk lebih memahami, silakan lihat contoh di bawah. :)

CONTOH 1:
Suatu bilangan bulat positif akan bersisa 1 jika dibagi 3, bersisa 2 jika dibagi 5, dan bersisa 3 jika dibagi 7. Tentukan bilangan bulat terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.

Jawab
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi:

Karena 3,5, dan 7 relatif prima, maka rumus CRT (Chinese Remainder Theorem) dapat langsung digunakan.
Kita dapatkan , , , dan . Untuk menentukan , kita selesaikan , menjadi , maka . Untuk menentukan , kita selesaikan , maka . Untuk menentukan , kita selesaikan , maka

Tinggal memasukkan semua elemen yang ada ke dalam rumus.

Jadi, bilangan bulat positif terkecil itu adalah 52. Bisa dicek bahwa 52 akan bersisa 1 jika dibagi3, bersisa 2 jika dibagi 5 dan bersisa 3 jika dibagi 7.

Untuk membuktikan formula ini sangat sederhana. Lihat kotak dibawah.

Tentukan

Solusi yang diberikan adalah

Mula-mula pandang bahwa

(merupakan solusi yang sudah didefinisikan sebelumnya)

Jika solusi tersebut memenuhi syarat awal bahwa akan bersisa jika dibagi untuk setiap , maka solusi tersebut terbukti kebenarannya.

Kita coba periksa sisanya jika dibagi dengan
Karena , maka tentunya .
Karena , maka juga.
Dan seterusnya dari hingga
Oleh karenanya:

Menurut definisi sebelumnya , maka

Ternyata, jika dibagi dengan akan bersisa . Artinya, ini sesuai dengan salah satu syarat yang diberikan.

Pembuktian masih dilanjutkan dengan mengecek sisanya jika dibagi .
Karena , maka
Karena , maka .
Dan hal sama juga berlaku pada hingga (silakan dicek sendiri, dan ketahuilah mengapa demikian)
Oleh karenanya:

Karena kita tahu bahwa , maka

Ternyata sesuai dengan syarat baris kedua.

Pembuktian dilanjutkan dengan mengecek sisanya jika dibagi hingga . Masing-masing akan menyisakan , hingga . Dengan demikian, definisi awal yang diberikan terbukti.

TERBUKTI sebagai solusi CRT

Namun, ada hal yang masih perlu dibuktikan. Karena mempunyai banyak jawab, akibatnya juga mempunyai banyak jawab.
Misalkan dan adalah solusi CRT yang nilainya berbeda, maka:
________Untuk setiap :

Menggabungkan keduanya:

Sesuai dengan teorema keterbagian bahwa: "jika dan , maka ", maka

Dari hasil di atas, diketahui bahwa antara solusi yang satu dengan solusi yang lain adalah kongruen modulo M. Jadi, solusi CRT menjadi:

TERBUKTI

Untuk lebih memahami penggunaan CRT. Perhatikan contoh di bawah. Kerjakan sebagai latihan.

CONTOH 2:
Temukan integer yang bersisa 1 jika dibagi 2 dan jika dibagi 3

Jawab:

, ,
, maka
, maka

CONTOH 3:
Temukan integer terkecil yang memenuhi

Jawab:
(Note: akan lebih mudah jika diselesaikan dengan komputer :D)

Kemudian, carilah .
, maka , maka
, maka
, maka , maka
, maka , maka
, maka , maka
(Note: untuk mencari invers modulo, biasakan untuk menggunakan teorema Euler).

Selanjutnya tinggal memasukkan ke rumus

Jadi, bilangan terkecil itu adalah 150999.

Chinese Remainder Theorem

2009-11-28T22:08:00.000-08:00

Note: Untuk memahami post ini, sebaiknya kalian sudah mengetahui materi tentang divisibility, modulo, gcd, dan persamaan linear diophantine..

Berikut ini adalah masalah yang dikemukakan oleh Sun Tsu Suan-Ching (abad ke-4 AD):

Ada suatu benda yang jumlahnya tidak diketahui.. Secara berulang, jika dibagi dengan 3, maka sisanya adalah 2; jika dibagi dengan 5, maka sisanya adalah 7; dan jika dibagi dengan 7 maka sisanya adalah 2. Maka, berapakah jumlah benda tersebut?

Abad ke-6, Oystein Ore menjelaskan suatu masalah yang serupa:

Seorang wanita tua pergi ke pasar dan tiba-tiba seekor kuda menginjak keranjang telurnya.. Semua telur di keranjangnya pecah.. Karena hal itu, penunggang kuda tersebut menawarkan ganti rugi akan telur-telur yang rusak tadi. Ketika ditanyakan berapa jumlah telur yang rusak, ternyata sang wanita tua itu lupa.. Tapi, sang wanita tua ingat sesuatu.. Ketika dia mengambil telur-telur itu dua dua, maka telurnya akan bersisa satu.. Ketika ia mengambilnya tiga-tiga, maka sisa telurnya juga satu. Hal yang sama ketika ia mengambil telur-telurnya empat-empat, lima-lima, dan enam-enam, maka sisanya juga satu. Akan tetapi, ketika dia mengambil telurnya tujuh-tujuh, maka telurnya tidak bersisa.. Berapakah jumlah minimal telur yang ia punya?

Masalah seperti yang dikemukakan di atas secara universal dikenal sebagai Chinese Remainder Theorem atau disingkat dengan CRT. Bagaimana masalah tersebut dipecahkan? Lihat kelanjutan post ini.. ^^

=======================================================================

CHINESE REMAINDER THEOREM
KONDISI YANG MUNGKIN

Chinese Remainder Theorem berbunyi sebagai berikut.

Diberikan suatu bilangan (yang tidak diketahui) yang memenuhi kondisi berikut.

__

Maka, kita hanya dapat menemukan solusi untuk , jika untuk semua dan , kondisi di bawah selalu terpenuhi:

BUKTI:
Pandang 2 kondisi saja:

Maka: Kondisi 1 dapat ditulis ulang menjadi , sedangkan kondisi ke-2 dapat ditulis ulang menjadi: , di mana m dan n adalah bilangan bulat.
Dengan menggabungkan keduanya, maka kita dapatkan:

Dengan pindah ruas, kita dapatkan sbb:

Perhatikan bahwa LHS (ruas kiri) dapat dibagi oleh , akibatnya RHS juga dapat dibagi oleh . Maka:

Dengan analogi yang sama dengan banyak persamaan, maka akan kita dapatkan hasil teorema yang seperti di atas. Bukti pun selesai.

CONTOH SOAL 1:
Diberikan notasi untuk bilangan bulat positif. Jika dibagi 3, maka sisanya1. Jika dibagi 9 maka sisanya 1. Jika dibagi 12, maka sisanya 7. Jika dibagi 14, maka sisanya 7.
Pertanyaannya: Apakah bilangan dapat dicari?

Jawab:
Kita tulis kembali pernyataan di soal menjadi seperti di bawah:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)

Karena yang ditanyakan hanya "apakah nilai itu ada?", maka yang kita lakukan sekarang hanyalah mengecek menggunakan Chinese Remainder Theorem.

Lihat pers (i) dan (ii):
(1-1) habis dibagi (gcd(9,3)) 0 habis dibagi 3 BENAR.
Lihat pers (i) dan (iii):
(7-1) habis dibagi (gcd(12,3)) 6 habis dibagi 3 BENAR.
Lihat pers (i) dan (iv):
(7-1) habis dibagi (gcd(14,3)) 6 habis dibagi 1 BENAR.
Lihat pers (ii) dan (iii):
(7-1) habis dibagi (gcd(12,9)) 6 habis dibagi 3 BENAR.
Lihat pers (ii) dan (iv):
(7-1) habis dibagi (gcd(14,9)) 6 habis dibagi 1 BENAR.
Lihat pers (iii) dan (iv):
(7-7) habis dibagi (gcd(14,12)) 0 habis dibagi 2 BENAR.

Karena semua pengecekan bernilai benar, maka tentunya nilai itu ada dan dapat dicari.

CONTOH SOAL 2:
Budi mengatakan bahwa di memiliki koleksi lukisan yang jumlahnya tidak diketahui karena jumlahnya terlalu banyak. Ia mengatatakan bahwa jika lukisannya dibagikan ke 2 orang, maka sisanya adalah 1. Jika lukisannya dibagikan ke 3 orang, maka sisanya juga 1. Jika dibagi ke 4 orang, sisanya adalah 3. Jika dibagikan ke 12 orang, maka sisanya 1. Pertanyaannya: Apakah Budi benar-benar jujur?

Jawab:
Kita tulis kembali pernyataan di soal menjadi seperti di bawah:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)

Soal ini setipe dengan soal sebelumnya, yaitu hanya mengecek apakah nilai itu ada dan dapat dicari.

Lihat pers (i) dan (ii):
(1-1) habis dibagi (gcd(3,2)) 0 habis dibagi 1 BENAR.
Lihat pers (i) dan (iii):
(3-1) habis dibagi (gcd(4,2)) 2 habis dibagi 2 BENAR.
Lihat pers (i) dan (iv):
(1-1) habis dibagi (gcd(12,2)) 0 habis dibagi 2 BENAR.
Lihat pers (ii) dan (iii):
(3-1) habis dibagi (gcd(4,3)) 2 habis dibagi 1 BENAR.
Lihat pers (ii) dan (iv):
(1-1) habis dibagi (gcd(12,3)) 0 habis dibagi 1 BENAR.
Lihat pers (iii) dan (iv):
(3-1) habis dibagi (gcd(12,4)) 2 habis dibagi 4 SALAH.

Karena tidak semua pengecekan bernilai benar, maka nilai itu tidak ada dan tidak dapat dicari. Artinya, Budi berbohong.

=======================================================================

ALGORITMA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
CHINESE REMAINDER THEOREM

Algoritma yang original yang digunakan untuk menyelesaikan masalah CRT bisa kalian lihat di http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem.. (Lihat di bagian contoh).. Namun, bagi saya, cara itu terlalu panjang.. Membutuhkan perhitungan berdigit banyak... Tidak efisien..!! Maka dari itu, sebaiknya kita menggunakan cara tradisional, yaitu dengan LOGIKA..!!! Kita akan mensubstitusikan setiap kondisi ke kondisi berikutnya menghasilkan integer yang bernilai lebih besar dari sebelumnya..

Langsung saja ke contoh soal..
Note: Semua variabel yang ada di sini merupakan variabel bilangan bulat.

CONTOH SOAL 3:
Diberikan notasi untuk bilangan bulat. Jika dibagi 3, maka sisanya1. Jika dibagi 9 maka sisanya 1. Jika dibagi 12, maka sisanya 7. Jika dibagi 14, maka sisanya 7. Tentukan nilai yang terkecil.

Jawab:
Kita tulis kembali pernyataan di soal menjadi seperti di bawah:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)

Dimulai dari persamaan (i)

Dengan mensubstitusikannya ke pers (ii), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Substitusikan nilai m ini ke pers di atas, maka menjadi:

Dengan mensubstitusikannya ke pers. (iii), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Perhatikan bahwa sekarang kita menemui bentuk persamaan linear diophantine, dan kita ingin membentuk persamaan menjadi "n=...". Maka, dengan menyelesaikan pers diophantine tersebut, kita akan dapatkan , maka kita dapatkan . Substitusikan nilai n ini ke pers sebelumnya, maka menjadi:

Dengan mensubstitusikannya ke pers. (iv), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Lagi-lagi pers diophantine... Kita ingin membentuk persamaan menjadi "k=...". Dengan menyelesaikan pers diophantine tersebut, kita akan dapatkan . Dikalikan 6, maka hasilnya: . Maka . Namun, karena masih ada konstanta negatif, maka substitusikan a=b+2, maka hasilnya: . Substitusikan nilai k ke pers sebelumnya, maka menjadi:

... (Ini adalah persamaan gabungan dari 4 kondisi)

Maka, nilai terkecil didapat jika mensubstitusi b=0, maka = 91.

CONTOH SOAL 3B:
Diberikan notasi untuk bilangan bulat. Jika dibagi 3, maka sisanya1. Jika dibagi 9 maka sisanya 1. Jika dibagi 12, maka sisanya 7. Jika dibagi 14, maka sisanya 7. Tentukan nilai yang terkecil.

Jawab.
Mungkin ada yang bingung mengapa soal ini sama dengan soal nomor sebelumnya. Alasannya adalah karena saya ingin memberikan sequence yang berbeda, dan akan ditunjukkan bahwa hasilnya adalah sama.

Kita tulis kembali pernyataan di soal menjadi seperti di bawah:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)

Dimulai dari persamaan (iv)

Dengan mensubstitusikannya ke pers (iii), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Merupakan persamaan trivial, maka kita dapatkan:. Artinya atau dapat ditulis atau . Substitusikan nilai m ini ke pers di atas, maka menjadi:

Dengan mensubstitusikannya ke pers (ii), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Lagi-lagi persamaan diophantine. Kita ingin membentuk persamaan menjadi "k=...". Dengan menyelesaikan pers diophantine tersebut, kita akan dapatkan . Dikalikan 2, maka hasilnya: . Jadi, dapat ditulis atau atau . Substitusikan nilai k ini ke persamaan sebelumnya.

Dengan mensubstitusikannya ke pers. (i), maka kita dapatkan . Disederhanakan menjadi: . Akan menghasilkan penyelesaian sbb: , sehingga dapat ditulis atau . Substitusikan nilai ini ke pers sebelumnya.

.
Maka, nilai terkecil didapat jika mensubstitusi b=0, maka = 91, merupakan jawaban yang sama seperti soal sebelumnya. Jadi, sequence (urutan) penyelesaian tidak jadi masalah.

Sajak Untuk Menghapal Pi

2009-11-28T22:05:00.000-08:00

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
Celestial sprites elucidate
All my own striving can't relate

Tahukah kamu untuk apakah sajak di atas digunakan? (Lihat kembali judul di atas.. ^^). Sajak di atas merepresentasikan digit-digit pi () yang bernilai 3,14159 26535 89793 23846. Eitss.. Kalian bisa menemukan sajak-sajak lain (atau mungkin cerita) yang akan membuatmu terkagum-kagum.. Lihat lanjutan post di bawah.. ^^

=========================================================================

PI MNEMONICS

3,14159 2

How I wish I could calculate pi.

3,14159 26

May I have a large container of coffee?

3,14159 26

Can I have a small container of coffee?

3,14159 26535 89

See, I have a rhyme assisting
my feeble brain, its tasks
oft-times resisting.

3,14159 26535 897

How I wish I could recollect of circle round
The exact relation Archimede unwound.

3,14159 26535 89793 23846

Sir, I wish I could determine pi
Eureka! cried the great inventor
Christmas pudding, Christmas pie
Is the problem's very center.

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279

Sir, I send a rhyme excelling
In sacred truth and rigid spelling
Numerical sprites elucidate
for me the lexicon's full weight.
If nature gain, who can complain
tho' Dr Johnson fulminate.

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
Celestial sprites elucidate
All my own striving can't relate.
Or locate they who can cogitate
And so finally terminate.

But a time I spent wandering in bloomy night;
Yon tower, tinkling chimewise, loftily opportune.
Out, up, and together came sudden to Sunday rite,
The one solemnly off to correct plenilune.

Now I will a rhyme construct
By chosen words the young instruct.
Cunningly devised endeavour,
Con it and remember ever.
Widths of circle here you see.
Sketched out in strange obscurity.

Now I, even I, would celebrate
In rhymes inapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate.

See, I have a rhyme assisting
My feeble brain, its tasks sometime resisting,
Efforts laborious can by its witchery
Grow easier, so hidden here are
The decimals all of circle's periphery.

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 5

Sir: I wish I could recapture my memory about Sir
Jeans' diabolic mnemonics! However, invention
now of any reliable easy phrase is beyond what shy
and fumbling aid my present intellect gives.

May I have a month, professor,
To figure these, you brain assessor?
Calculate, student, calculate now!
As the figuring gets longer,
My friend, hope you get stronger
And no figures incorrect allow!

You I sing, O ratio undefined
By strict assay and lined,
Sequence limitless. Stunned regarding you,
We see eternity -- alas -- unwind
In random cast and rue,
Dejected out of measure, reckoning blind.

May I tell a story purposing to render clear
the ratio circular perimeter-breaths, revealing
one of the problems most famous in modern days,
and the greatest man of science anciently known.

How I need a drink, alcoholic of course, after the tough lectures involving quantum mechanics; but we did estimate some digits by making very bad, not accurate, but so goddamn efficient tools! By dropping valuable wood, a dedicated student, I, Volokh, Alexander, can determine beautiful and curious stuff, O! Smart, gorgeous me! Descartes himself knew wonderful ways that could ascertain it too! Revered, glorious - a wicked dude! Behold an unending number: pi! Thinkers' ceaseless agonizing produces little, if anything! For this constant, it stops not -- just as e, I suppose. Vainly, ancient geometers computed it -- a task undoable. Legendre, Adrien Marie: "I say pi rational is not!" Adrien proved this theorem. Therefore, all doubters have made errors. (Everybody that's Greek.) Today, counting is as bad a problem as years ago, maybe centuries even. Moreover, I do consider that variable x, y, z, wouldn't much avail. Pi, imaginary, like i? No, buffoon!

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 330

For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all - success. Intently I waited. Soon, roused by thoughts within me, appeared narrative mnemonics relating digits to verbiage ! The idea appeared to exist but only in abbreviated fashion - little phrases typically. Pressing on I then resolved, deciding firmly about a sum of decimals to use - likely around four hundred, presuming the computer code soon halted! Pondering these ideas, words appealed to me. But a problem of zeros did exist. Pondering more, solution subsequently appeared. Zero suggests a punctuation element. Very novel! My thoughts were culminated. No periods, I concluded. All residual marks of punctuation = zeros. First digit expansion answer then came before me. On examining some problemsunhappily arose. That imbecilic bug! The printout I possessed showed four nine as foremost decimals. Manifestly troubling. Totally every number looked wrong. Repairing the bug took much effort. A pi mnemonic with letters truly seemed good. Counting of all the letters probably should suffice. Reaching for a record would be helpful. Consequently, I continued, expecting a good final answer from computer. First number slowly displayed on the flat screen - 3. Good. Trailing digits apparently were right also. Now my memory scheme must probably be implementable. The technique was chosen, elegant in scheme: by self reference a tale mnemonically helpful was ensured. An able title suddenly existed - ``Circle Digits". Taking pen I began. Words emanated uneasily. I desired more synonyms. Speedily I found my (alongside me) Thesaurus. Rogets is probably an essential in doing this, instantly I decided. I wrote and erased more. The Rogets clearly assisted immensely. My story proceeded (how lovely!) faultlessly. The end, above all, would soon joyfully overtake. So, this memory helper story is incontestably complete. Soon I will locate publisher. There a narrative will I trust immediately appear, producing fame. THE END..

=========================================================================

CLOSING

Sajak yang terakhir adalah sajak yang memuat 403 digit di belakang pi. Sajak itu ditulis di sebuah buku yang berjudul "The Mathematical Intelligencer", volume 8 no.3, halaman 56-57.. (but, aku gak yakin siapa penulisnya..). Bilangan nol (0) direpresentasikan dengan tanda baca lain selain single dot (.) seperti tanda seru (!), maupun 2 titik(..). Jika ada beberapa kata yang lebih dari 9 huruf, itu merepresentasikan 2 digit. Misalnya, "abbreviated" merupakan representasi terhadap digit "11".

Masih banyak sajak "Pi Mnemonics" yang lain yang tersebar di web. Silakan lihat bagian sumber di bawah untuk melihat referensi yang lebih lengkap. Sajak itu juga tidak hanya dalam bahasa Inggris, tapi juga ada dalam bahasa Spanyol, Romanian, Portugis, dan sebagainya. Namun, alangkah sayangnya. Belum ada sajak Pi dalam bahasa Indonesia (tentunya kita akan kesulitan dalam menemukan kata yang terdiri hanya 1 huruf..)

Sebenarnya, sajak di atas bukanlah untuk dihapal, terutama untuk sajak dengan 402 digit. Siapa yang mau menghapalnya??? Yah, kecuali jika kalian merupakan maniacs "Pi".. :P

BERTANI PADI DAN UJIAN MATEMATIKA

2009-11-28T22:04:00.000-08:00

"TIDAK ADA SEORANGPUN YANG BANGUN SEBELUM SUBUH SELAMA TIGA RATUS ENAM PULUH HARI DALAM SATU TAHUN TIDAK MAMPU MEMBUAT KELUARGANYA KAYA RAYA"

Pernyataan di atas merupakan pembuka bab ke delapan buku Outliers karya Malcolm Gladwell. Pernyataan di atas cukup jelas untuk menjelaskan mengapa bangsa Asia begitu cerdas dalam matematika.

Padi telah ditanam di Cina selama ribuan tahun, dan dari sanalah teknik penanaman padi menyebar ke seluruh Asia Timur. Fakta yang paling mengejutkan tentang sawah di Asia- yang sampai saat ini sulit dipahami-yaitu ukurannya. Ukurannya sangat kecil. Ini sangat berbeda dengan sawah di amerika yang menggunakan peralatan canggih dengan luas lahan yang sangat besar.Di Jepang atau Cina, para petani tidak memiliki cukup uang untuk membeli peralatan, lagipula tidak ada lahan kosong yang bisa diubah menjadi sawah. Jadi para petani meningkatkan hasil panennya dengan berpikir lebih cerdas, dengan membagi waktu mereka dengan lebih baik, dan dengan mebuat berbagai pilihan yang lebih baik.Seperti yang diungkapkan oleh Francesca Bray, pertanian di timur “beorientasi keahlian”: jika anda bersedia mencabuti rumput liar dengan lebih baik dan menjadi lebih ahli dalam pemberian pupuk, dan menghabiskan waktu lebih lama yntuk mengawasi tingkat air dan menjaga agar lapisan tanah benar-benar sama, dan mengoptmalkan setiap inchi lahan yang anda miliki, anda akan mendapatkan hasil panen yang lebih besar.
Berikut ini adalah berbagai hal yang akan dikatakan petani miskin ke yang lainnya saat mereka bekerja 3000 jam setahun dibawah panas yang terik dan kelembaban sawah di Cina:
“Tidak ada makan tanpa darah dan keringat”
“Petani sangat sibuk; Petani sangat sibuk; jika petani tidak sibuk maka darimana asal gandum untuk dimakan di musim dingin”
“Jangan bergantung pada surga untuk sesuap nasi,tetapi bergantung pada kedua tanganmu sendiri yang melakukan pekerjaan”
“Tidak ada gunanya mempertanyakan hasil panen, semuanya bergantung pada hasil panen dan pupuk”
“Jika seseorang bekerja keras, tanah ini tidak akan malas”

Dan ucapan yang paling hebat adalah: “Tidak ada seorang pun yang bangun sebelum subuh selama tiga ratus enam puluh hari setahun yang tidak biasa membuat keluarganya kaya raya”
Bekerja sangat keras adalah yang dilakukan oleh orang yang sukses, dan hebatnya kebudayaan yang terbentuk di lahan sawah adalah bekerja keras yang memberikan mereka yang bekerja di tengah sawah sebuah cara untuk menemukan arti di tengah-tengah ketidakpastian dan kemiskinan yang luar biasa. Pelajaran itu benar-benar bermanfaat bagi orang Asia di banyaki bidang tetapi paling sempurna di dalam bidang matematika.
Kini lihatlah kasus berikut ini:
Dalam tes TIMSS (tes matematika dan ilmu pengetahuan alam yang berkesinambungan setiap 4 tahun) diberikan sebuah kuesioner. Total 120 nomor yang diberikan dalam kuesioner terlalu banyak sehingga kebanyakan siswa mengosongkan 10-20 pertanyaan. Dan (percaya atau tidak) peringkat siswa dalam tes tersebut sama persis dengan semakin banyaknya nomor yang dijawab dalam kuesioner. Jadi, bagaimana jika sekarang kita menilai olimpiade matematika internasional yang dilakukan tiap tahun itu dari seberapa kertas siswa besedia untuk bekerja. Kita bisa memprediksi hasil tes tersebut dengan melihat budaya negara asal peserta. Dan lihatlah seberapa budaya kerja keras yang tercipta di lahan sawah sempit itu bekerja. Tidak terlalu susah untuk mengetahui negara-negara yang berhasil di kedua daftar diatas: Singapura, Kora Selatan, Cina (Taiwan), Hong Kong, dan Jepang. Sederhana bukan?

TEKA-TEKI EINSTEIN

2009-11-28T22:02:00.000-08:00

Teka-teki ini tidak mengandung trik, hanya murni logika.

Ada 5 buah rumah yang masing-masing memiliki warna berbeda. Setiap rumah dihuni satu orang pria dengan kebangsaaan yang berbeda-beda. Setiap penghuni rumah menyukai jenis minuman tertentu, merokok satu merk rokok tertentu dan memelihara satu jenis hewan tertentu. Tak satupun dari kelima orang itu yang minum minuman yang sama, merokok satu merk rokok yang sama, dan memelihara hewan yang sama seperti penghuni yang lain.

PERTANYAAN : Siapakah Yang memelihara IKAN?

PETUNJUK:
Orang Inggris tinggal di dalam rumah berwarna merah
Orang Swedia memelihara anjing
Orang Denmark senang minum teh
Rumah berwarna putih terletak tepat disebelah kiri rumah berwarna coklat
Penghuni rumah berwarna putih senang minum kopi
Orang yang merokok PallMall memelihara burung
Penghuni rumah yang terletak ditengah-tengah senang minum susu
Penghuni rumah berwarna kuning merokok Dunhill
Orang Norwegia tinggal di rumah paling pertama
Orang yang merokok Marlboro tinggal di sebelah orang yang memelihara kucing
Orang yang memelihara kuda tinggal di sebelah orang yang merokok Dunhill
Orang yang merokok Winfield senang minum bir
Di sebelah rumah berwarna biru tinggal orang Norwegia
Orang Jerman merokok Rothmans
Orang yang merokok Marlboro bertetangga dengan orang yang minum air.

Albert Einstein menyusun teka-teki ini pada abad lalu.
Dia menyatakan, 98% penduduk dunia tidak mampu memecahkan teka-teki ini.

Apakah anda termasuk yang 2%?

Mobil tersembunyi di pintu nomor 1		Mobil tersembunyi di pintu nomor 2	Mobil tersembunyi di pintu nomor 3
\|\| \/ Player memilih pintu nomor 1

\|\| \/ Host membuka pintu nomor 2 atau 3		\|\| \/ Host harus membuka pintu nomor 3	\|\| \/ Host harus membuka pintu nomor 2

\|\| \/ Stay: win Switch: lose	\|\| \/ Stay: win Switch: lose	\|\| \/ Stay: lose Switch: win	\|\| \/ Stay: lose Switch: win
\|\| \/ Stay: lose Switch: win Jika switch, maka kemungkinan menang adalah 1/3		\|\| \/ Stay: lose Switch: win Jika switch, maka kemungkinan menang adalah 2/3