RAINYMATH TRIXT: AM-GM-HM

AM-GM-HM sering banget digunakan di soal ekuivalensi, misalnya:

Buktikan bahwa $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , u/ semua bilangan x positif..

Wah, nyesel deh kalo ga tau soal kayak gini.. Soalnya ini tuh guampang bangeettttzzzz.. Check it out..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Istilah:
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik. Mis: $\frac{1+2+4+5}{4}$

GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri. Mis: $\sqrt[4]{1.2.4.5}$
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik. Mis: $\frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}$

Nah, secara umum AM $\ge$ GM $\ge$ HM

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Pembuktian rumus:
Pertama, gunakan 2 varibel dulu, yaitu a dan b..
Kita coba buktikan rumus: AM $\ge$ GM dulu...

Pandang
__ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ ______(ini berlaku karena setiap bilangan kuadrat selalu positif)
__ $a+b-2$ $\sqrt{ab} \ge 0$
__ $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
__ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ________, Terbukti rumus AM $\ge$ GM u/ 2 variabel

Bukti Rumus GM $\ge$ HM:
__ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ____ bagi kedua ruas dengan ab
__ $\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}{2}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}$ ____pindah ruas
__ $\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ ____, Terbukti rumus GM $\ge$ HM u/ 2 variabel

Dari bagian pertama dan kedua, maka didapat:

$\frac{a+b}{2}\ge sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

AM $\ge$ GM $\ge$ HM

Nah, untuk pembuktian dengan banyak variabel, bisa menggunakan konsep yang 2 variabel:
x. Untuk yang 4 variabel, ubahlah bentuk $\frac{a+b+c+d}{4}$ menjadi $\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}$ $\ge$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}$ . Gunakan lagi prinsip $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ . Setelah itu, kedua ruas pangkatkan dengan 4, maka bukti u/ 4 varibel didapatkan.

x. Untuk yang 3 variabel, ubahlah bentuk $\frac{a+b+c}{3}$ menjadi $\frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}$ . Gunakan konsep yang sebelumnya (4 varibel).. Maka, lagi-lagi, bukti untuk 3 variabel didapatkan... Piece of Cake!!

x. Untuk banyak variabel selanjutnya, gunakan konsep yang sudah ada sebelumnya..

Maka terbentuklah rumus AM-GM-HM yang seperti berikut:

$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 1:
Buktikan bahwa $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , u/ semua bilangan x positif..

Jawab:
(i) Gunakan cara biasa (dari dasar)
__ $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 \ge 0$
__ $x-2+\frac{1}{x}\ge 0$

__ $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , terbukti
(ii)Cara AM-GM (langsung dari rumus)
__ $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge \sqrt{x.\frac{1}{x}}$
__ $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge 1$
__ $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 2:
Untuk p,q,r>0 dan p+q+r=1, buktikan bahwa $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9$
Jawab:
____AM $\ge$ HM
____ $\frac{p+q+r}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$
____ $\frac{1}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$
____ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9$ , terbukti..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 3:
Jika a,b,c, dan d adalah bilangan Real positif, tunjukkan bahwa: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4$
Jawab:
____AM $\ge$ GM
____ $\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge \sqrt[4]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{d}\frac{d}{a}}$
____ $\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge 1$
____ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4$ , Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
What a simple form!

RAINYMATH TRIXT

AM-GM-HM

>> Minggu, 29 November 2009

0 komentar:

Poskan Komentar

Web Design

Blog Archive

About This Blog

Our Blogger Templates Web Design